Kalkulator macierzy online
Wybierz operację, ustaw wymiary i wpisz elementy — kalkulator macierzy policzy wyznacznik, odwrotność, iloczyn czy rząd, a przy okazji wytłumaczy, co wynik oznacza dla układu równań.
Działania na macierzach (do 4 × 4)
„Udostępnij” tworzy link, który od razu pokaże ten sam wynik. Każde obliczenie zapisuje się też w historii poniżej (tylko w Twojej przeglądarce).
Twoje ostatnie obliczenia
Wyznacznik: jedna liczba, dużo informacji
Dla macierzy 2×2 wyznacznik to ad − bc; dla większych kalkulator używa eliminacji Gaussa. Det(A) = 0 oznacza macierz osobliwą: kolumny są liniowo zależne, odwrotność nie istnieje, a układ równań traci jednoznaczne rozwiązanie. Det ≠ 0 to zielone światło dla A⁻¹ — geometrycznie wyznacznik mówi też, jak macierz skaluje pole (2×2) lub objętość (3×3).
Macierz odwrotna metodą Gaussa-Jordana
Dopisujemy do A macierz jednostkową i sprowadzamy lewą część do I: [A | I] → [I | A⁻¹]. Kalkulator wykonuje pełną eliminację z wyborem elementu podstawowego, więc radzi sobie też z zerami na przekątnej. Szybki test poprawności: pomnóż wynik przez A w trybie „A × B” — powinna wyjść macierz jednostkowa.
Mnożenie macierzy: wiersz razy kolumna
Element cij wyniku to suma iloczynów i-tego wiersza A i j-tej kolumny B — dlatego liczba kolumn A musi równać się liczbie wierszy B, a kolejność czynników ma znaczenie (A×B ≠ B×A!). Wymiar wyniku: (wiersze A) × (kolumny B). To działanie napędza grafikę 3D, sieci neuronowe i rozwiązywanie układów równań.
Rząd i ślad — po co są
Rząd to liczba liniowo niezależnych wierszy: pełny rząd macierzy układu równań gwarantuje dokładnie jedno rozwiązanie. Ślad (suma przekątnej) pojawia się przy wartościach własnych — ich suma zawsze równa się śladowi. Oba wskaźniki kalkulator liczy jednym kliknięciem dla macierzy do 4×4.
Macierze — FAQ
Jak obliczyć wyznacznik macierzy 3×3?
Metodą Sarrusa (dopisanie dwóch kolumn i sześć iloczynów po skosach) albo eliminacją Gaussa — kalkulator używa tej drugiej, bo działa też dla 4×4. Wpisz macierz i wybierz „Wyznacznik”.
Kiedy macierz nie ma odwrotności?
Gdy jej wyznacznik wynosi 0 (macierz osobliwa) albo gdy nie jest kwadratowa. Kalkulator w obu przypadkach wyjaśni problem zamiast zwracać błąd.
Dlaczego nie mogę pomnożyć macierzy 3×2 przez 3×2?
Bo do mnożenia liczba kolumn pierwszej macierzy musi równać się liczbie wierszy drugiej (tu: 2 ≠ 3). Możesz za to pomnożyć 3×2 przez 2×3 — wynik będzie 3×3.
Co oznacza rząd macierzy 2 przy macierzy 3×3?
Że tylko dwa wiersze są liniowo niezależne — trzeci to kombinacja pozostałych. Taki układ równań ma zero lub nieskończenie wiele rozwiązań, nigdy dokładnie jedno.
Czym jest macierz jednostkowa?
Kwadratową macierzą z jedynkami na przekątnej i zerami poza nią — „jedynką” świata macierzy: A × I = A. To ona wychodzi ze sprawdzenia A × A⁻¹.
Jak rozwiązać układ równań za pomocą macierzy odwrotnej?
Układ zapisujesz jako A·x = b, gdzie A to macierz współczynników, a b — kolumna wyrazów wolnych. Jeśli det(A) ≠ 0, rozwiązaniem jest x = A⁻¹·b. W praktyce: policz tu „Macierz odwrotną”, wpisz ją jako A w trybie „A × B”, a b jako macierz n×1 — wynik to gotowe niewiadome. Gdy wyznacznik wychodzi 0, układ nie ma jednoznacznego rozwiązania i metoda odwrotności z definicji nie zadziała.