Kalkulator potęgi: wykładnik ujemny i ułamkowy
2⁻³, 8^(2/3), 16^(−1/2) — to potęgi, na których łamie się większość klasówek. Wpisz podstawę oraz wykładnik jako ułamek m/n, a kalkulator potęgi rozpisze rozwiązanie etapami: odwrotność, pierwiastek, potęga.
Wykładnik ujemny lub ułamkowy
Przykłady: 8^(2/3) → x=8, m=2, n=3 • 2⁻³ → x=2, m=−3, n=1 • 16^(−1/2) → x=16, m=−1, n=2.
„Udostępnij” tworzy link, który od razu pokaże ten sam wynik. Każde obliczenie zapisuje się też w historii poniżej (tylko w Twojej przeglądarce).
Twoje ostatnie obliczenia
Wykładnik ujemny: jedna reguła, zero strachu
Minus w wykładniku oznacza „weź odwrotność”: x⁻ᵃ = 1/xᵃ. Stąd 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125, a (1/2)⁻¹ = 2. Liczba się nie robi ujemna — robi się „odwrócona”. To najczęściej mylona własność potęg i właśnie dlatego kalkulator potęgi rozpisuje ją jako osobny, wyraźny krok rozwiązania.
Wykładnik ułamkowy to pierwiastek w przebraniu
Definicja: x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ) = (ⁿ√x)ᵐ. Mianownik mówi „jaki pierwiastek”, licznik — „jaka potęga”. Klasyk: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. Kolejność jest dowolna (najpierw pierwiastek czy najpierw potęga — wynik ten sam), ale liczenie „od pierwiastka” daje mniejsze liczby po drodze.
Połączenie obu: wykładnik −m/n
Działa składanie reguł: 16^(−1/2) = 1 ÷ 16^(1/2) = 1 ÷ √16 = 1/4. Kalkulator wykonuje to w tej właśnie kolejności i pokazuje każdy etap: skrócenie wykładnika, odwrotność, pierwiastek, potęgę — gotowy wzorzec rozwiązania do zadania domowego.
Ujemna podstawa — kiedy wolno?
(−8)^(1/3) = −2, bo pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej istnieje. Ale (−4)^(1/2) to już teren liczb zespolonych. Reguła praktyczna: po skróceniu ułamka m/n mianownik musi być nieparzysty, jeśli podstawa jest ujemna. Kalkulator sprawdza to automatycznie i tłumaczy odmowę zamiast wyświetlać błąd.
Na koniec wskazówka notacyjna: wykładnik ułamkowy zawsze bierz w nawias — x^(2/3), nie x^2/3. Bez nawiasu większość kalkulatorów i języków programowania policzy najpierw x², a dopiero potem podzieli wynik przez 3, czyli zupełnie inne działanie. Ten sam nawias chroni wykładniki ujemne: 2^(−3) to jednoznacznie 0,125, podczas gdy zapis bez nawiasu bywa odczytywany jako odejmowanie albo zgłaszany jako błąd składni.
Potęga liczby — FAQ
Ile to jest 8 do potęgi 2/3?
8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. Mianownik 3 to pierwiastek sześcienny, licznik 2 to podniesienie wyniku do kwadratu.
Jak obliczyć 2 do potęgi −3?
Minus daje odwrotność: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Wpisz x = 2, m = −3, n = 1 — kalkulator rozpisze oba kroki.
Co oznacza wykładnik 1/2?
Pierwiastek kwadratowy: x^(1/2) = √x, np. 25^(1/2) = 5. Analogicznie 1/3 to pierwiastek sześcienny, a 3/2 to „pierwiastek z sześcianu”: x^(3/2) = √(x³).
Czy (−8)^(1/3) ma wynik?
Tak: −2, bo pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej istnieje ((−2)³ = −8). Niedozwolone są tylko parzyste mianowniki przy ujemnej podstawie, np. (−8)^(1/2).
Czym ta strona różni się od kalkulatora potęg?
Kalkulator potęg liczy dowolne aⁿ i zbiera prawa działań. Ta strona to „lupa” na dwa najtrudniejsze przypadki — wykładnik ujemny i ułamkowy — z rozwiązaniem rozpisanym krok po kroku.
Dlaczego x⁰ = 1 także przy wykładnikach ułamkowych?
Bo prawa potęg muszą się zgadzać: x^(1/2) · x^(−1/2) = x^(1/2 − 1/2) = x⁰, a jednocześnie √x · 1/√x = 1. Skoro iloczyn równa się 1, to x⁰ = 1 (dla x ≠ 0). Ten sam argument działa dla każdego m/n, dlatego definicja potęgi zerowej nie jest umową „bo tak”, tylko jedynym wyborem spójnym z resztą arytmetyki — co widać w krokach rozwiązania, gdy wpiszesz m = 0.