Kalkulator pochodnych online

Wpisz wielomian, a kalkulator pochodnych zróżniczkuje go składnik po składniku — z wzorem przy każdym kroku — i policzy drugą pochodną oraz styczną w wybranym punkcie. Jak korepetytor, tylko szybszy.

Pochodna wielomianu krok po kroku

„Udostępnij” tworzy link, który od razu pokaże ten sam wynik. Każde obliczenie zapisuje się też w historii poniżej (tylko w Twojej przeglądarce).

Twoje ostatnie obliczenia

Wzór na pochodną potęgi — serce rachunku różniczkowego

Dla jednomianu działa reguła: (c·xⁿ)′ = c·n·xⁿ⁻¹ — wykładnik „schodzi” przed x, a potęga maleje o 1. Pochodna sumy to suma pochodnych, a stała znika. Dzięki temu każdy wielomian różniczkuje się mechanicznie: (3x³ − 5x² + 2x − 7)′ = 9x² − 10x + 2. Kalkulator pochodnych rozpisuje to składnik po składniku, dorzuca drugą pochodną i wartość w punkcie.

Co właściwie mówi pochodna?

f′(x₀) to nachylenie stycznej do wykresu w punkcie x₀ — czyli chwilowe tempo zmian. Dodatnia pochodna: funkcja rośnie; ujemna: maleje; zero: kandydat na maksimum lub minimum (rozstrzyga znak drugiej pochodnej: f″ < 0 → maksimum, f″ > 0 → minimum). Po podaniu x₀ kalkulator wyznacza też równanie stycznej y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀) — częsty finał zadań maturalnych.

Tabela pochodnych funkcji elementarnych

f(x)	f′(x)	Uwagi
xⁿ	n·xⁿ⁻¹	działa też dla n ujemnych i ułamkowych
√x = x^(1/2)	1 / (2√x)	z reguły potęgi
sin x	cos x	x w radianach
cos x	−sin x
eˣ	eˣ	jedyna taka funkcja
ln x	1/x	x > 0
1/x = x⁻¹	−1/x²	z reguły potęgi

Ten kalkulator specjalizuje się w wielomianach (to one dominują w szkole); funkcje złożone wymagają dodatkowo reguły łańcuchowej (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) — opisanej w przykładach poniżej.

Trzy klasyczne pułapki

Po pierwsze, pochodna iloczynu to nie iloczyn pochodnych: (f·g)′ = f′g + fg′. Po drugie, zapis 1/x² różniczkuj jako x⁻²: wynik −2x⁻³. Po trzecie, w trygonometrii wzory zakładają radiany — dla stopni dochodzi czynnik π/180. Wielomiany są od tych pułapek wolne, dlatego to najlepszy poligon do nauki techniki.

Pochodne — FAQ

Jaka jest pochodna funkcji 3x³ − 5x² + 2x − 7?

f′(x) = 9x² − 10x + 2. Każdy składnik różniczkujemy wzorem (c·xⁿ)′ = c·n·xⁿ⁻¹, a stała −7 znika. Kalkulator pokaże wszystkie kroki.

Co oznacza, że pochodna w punkcie wynosi 0?

Styczna jest pozioma — to kandydat na ekstremum. Sprawdź drugą pochodną: ujemna oznacza maksimum, dodatnia minimum, zero wymaga dalszej analizy.

Jak policzyć pochodną z ułamkiem typu 1/x?

Zapisz jako potęgę: 1/x = x⁻¹, więc (x⁻¹)′ = −x⁻² = −1/x². Zamianę ułamków na potęgi ujemne ćwiczy kalkulator potęgi.

Czym różni się f′ od f″?

f′ opisuje tempo zmian funkcji, f″ — tempo zmian tego tempa, czyli wypukłość wykresu. Oba wielomiany kalkulator wypisuje automatycznie.

Jak wyznaczyć równanie stycznej do wykresu?

Styczna w x₀ ma wzór y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀). Wpisz funkcję i x₀ w pole obok — kalkulator poda gotowe równanie w postaci y = ax + b.

Do czego pochodne przydają się poza matematyką?

Wszędzie tam, gdzie pytamy o tempo zmian: w fizyce prędkość to pochodna położenia, a przyspieszenie — prędkości; w ekonomii koszt krańcowy to pochodna kosztu całkowitego; w uczeniu maszynowym gradient (wektor pochodnych) wskazuje, jak poprawiać model. Nawet optymalizacja ceny czy kształtu opakowania to szukanie zera pochodnej. Dlatego umiejętność szybkiego różniczkowania wielomianów — którą ćwiczysz tutaj — procentuje daleko poza klasówką.