Kalkulator pierwiastków online

Pierwiastek kwadratowy, sześcienny albo piątego stopnia — wpisz liczbę i stopień, a kalkulator poda wynik, sprawdzenie oraz szkolną postać uproszczoną z wyłączonym czynnikiem. Ujemne liczby? Wyjaśnimy, kiedy to legalne.

Pierwiastek dowolnego stopnia

„Udostępnij” tworzy link, który od razu pokaże ten sam wynik. Każde obliczenie zapisuje się też w historii poniżej (tylko w Twojej przeglądarce).

Twoje ostatnie obliczenia

Czym jest pierwiastek i kiedy istnieje

Pierwiastek n-tego stopnia z liczby a to taka liczba b, że bⁿ = a. Dla stopni parzystych (√, ∜) liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna — √(−4) nie istnieje w liczbach rzeczywistych (w zespolonych to 2i). Stopnie nieparzyste działają też dla ujemnych: ∛(−27) = −3. Kalkulator pierwiastków pilnuje tych reguł i zamiast tajemniczego „NaN” wyjaśnia, co poszło nie tak.

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Nauczyciele kochają postać typu √72 = 6√2. Sztuczka: znajdź największy kwadrat dzielący liczbę (72 = 36 × 2) i wyciągnij jego pierwiastek przed znak. Kalkulator robi to automatycznie dla pierwiastków kwadratowych z liczb całkowitych — dostajesz i wartość przybliżoną do obliczeń, i zapis dokładny do zeszytu.

Tabela pierwiastków kwadratowych 1–20

√x	Wynik	√x	Wynik
√1	1	√11	≈ 3,317
√2	≈ 1,414	√12	2√3 ≈ 3,464
√3	≈ 1,732	√13	≈ 3,606
√4	2	√14	≈ 3,742
√5	≈ 2,236	√15	≈ 3,873
√6	≈ 2,449	√16	4
√7	≈ 2,646	√17	≈ 4,123
√8	2√2 ≈ 2,828	√18	3√2 ≈ 4,243
√9	3	√19	≈ 4,359
√10	≈ 3,162	√20	2√5 ≈ 4,472

Pierwiastek to potęga ułamkowa

Zapisy ⁿ√x i x^1/n znaczą dokładnie to samo, dlatego √(x³) = x^3/2. Ta zamiana ratuje przy upraszczaniu wyrażeń i w rachunku różniczkowym — pochodną √x policzysz jako pochodną x^1/2 w kalkulatorze pochodnych, a same potęgi ułamkowe rozłożysz na czynniki w kalkulatorze potęgi. Dla porządku: pierwiastek arytmetyczny z liczby nieujemnej jest z definicji nieujemny — dlatego √9 = 3, mimo że równanie x² = 9 ma także drugie rozwiązanie, −3.

Pierwiastki — FAQ

Ile wynosi pierwiastek z 72?

√72 ≈ 8,485, a w postaci dokładnej 6√2 (bo 72 = 36 × 2). Kalkulator poda obie formy automatycznie.

Czy istnieje pierwiastek z liczby ujemnej?

Kwadratowy — nie (w liczbach rzeczywistych); to domena liczb zespolonych, gdzie √(−4) = 2i. Ale pierwiastki nieparzystych stopni jak najbardziej: ∛(−8) = −2.

Jak obliczyć pierwiastek sześcienny bez kalkulatora?

Szukaj liczby, której sześcian jest blisko: 4³ = 64, 5³ = 125, więc ∛100 leży między 4 a 5 (≈ 4,64). Do dokładnych wartości użyj kalkulatora — pokaże też sprawdzenie wyniku.

Co to znaczy „wyłączyć czynnik przed pierwiastek”?

Rozbić liczbę na kwadrat × resztę i wyciągnąć kwadrat: √50 = √(25 × 2) = 5√2. Taka postać jest „dokładna” — nie traci precyzji jak zaokrąglony ułamek dziesiętny.

Czym różni się √x od x^(1/2)?

Niczym — to dwa zapisy tej samej operacji. Dzięki tej równości działają prawa potęg, np. √x · √x = x^1/2+1/2 = x.

Jak oszacować pierwiastek kwadratowy w pamięci?

Znajdź dwa sąsiednie kwadraty: 7² = 49 i 8² = 64, więc √55 leży między 7 a 8. Doprecyzuj interpolacją: 55 jest 6/15 drogi od 49 do 64, czyli √55 ≈ 7,4 (dokładnie 7,416). Metoda działa zaskakująco dobrze do dwóch miejsc po przecinku i ratuje na kartkówkach „bez kalkulatora”. Wynik zawsze możesz zweryfikować tutaj — wraz ze sprawdzeniem przez podniesienie do potęgi.